Exercice 10Moyennes harmonique et arithmétique : suites adjacentes 🔖 outil de devoir

Correction — Question 1

1$u_1 = \frac{6}{4} = \frac32$ ; $v_1 = 2$ ; $u_2 = \dfrac{2\cdot\frac32\cdot2}{\frac72} = \dfrac{12}{7}$ ; $v_2 = \dfrac74$.

Correction — Question 2 (a)

2(a)$v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{(u_n+v_n)^2 - 4u_nv_n}{2(u_n+v_n)} = \dfrac{(u_n - v_n)^2}{2(u_n+v_n)}$.

Correction — Question 2 (b)

(b)Montrons par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n \le v_n$. Ce résultat est un peu plus fort que celui demandé ; il garantit que $u_n + v_n \ne 0$.

On vérifie pour $n = 0$ : $u_0 = 1$, $v_0 = 3$ et $0 < 1 \le 3$.

On suppose que, pour un entier $n \ge 0$, $0 < u_n \le v_n$, et on montre que $0 < u_{n+1} \le v_{n+1}$.

On a $u_n + v_n > 0$, donc $u_{n+1} = \dfrac{2u_nv_n}{u_n + v_n} > 0$ ; et, d'après (a), $v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{(u_n - v_n)^2}{2(u_n + v_n)} \ge 0$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n \le v_n$, et en particulier $0 \le u_n \le v_n$.

Correction — Question 3 (a)

3(a)$0 \le v_n - u_n \le v_n + u_n$, donc $v_{n+1} - u_{n+1} = (v_n - u_n)\cdot\dfrac{v_n - u_n}{2(u_n + v_n)} \le \dfrac12(v_n - u_n)$.

Correction — Question 3 (b)

(b)Montrons par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n - u_n \le \dfrac{1}{2^{n-1}}$.

On vérifie pour $n = 0$ : $v_0 - u_0 = 2$ et $\dfrac{1}{2^{-1}} = 2$.

On suppose que, pour un entier $n \ge 0$, $v_n - u_n \le \dfrac{1}{2^{n-1}}$ ; d'après (a), $v_{n+1} - u_{n+1} \le \dfrac12\left(v_n - u_n\right) \le \dfrac12 \times \dfrac{1}{2^{n-1}} = \dfrac{1}{2^{n}}$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n - u_n \le \dfrac{1}{2^{n-1}}$.

Correction — Question 4

4$v_{n+1} - v_n = \dfrac{u_n - v_n}{2} \le 0$ : $(v_n)$ est décroissante. $u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n(v_n - u_n)}{u_n + v_n} \ge 0$ : $(u_n)$ est croissante. Et $0 \le v_n - u_n \le \frac{1}{2^{n-1}} \to 0$.

Les suites sont donc adjacentes : elles convergent vers une même limite $L$.

Correction — Question 5 (a)

5(a)$a_{n+1} = \dfrac{2u_nv_n}{u_n + v_n}\cdot\dfrac{u_n + v_n}{2} = u_nv_n = a_n$ : $(a_n)$ est constante, égale à $a_0 = 3$.

Correction — Question 5 (b)

(b)D'une part $\lim a_n = 3$ ; d'autre part $\lim a_n = L \cdot L = L^2$. Comme $(u_n)$ est croissante, $L \ge u_0 = 1 > 0$, donc $L = \sqrt3$.