Exercice 11Convergence et vitesse, sans guidage

Correction — Question 1

1Encadrement. Montrons par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 2$.

Monotonie. $u_{n+1}^2 - u_n^2 = 2 + u_n - u_n^2 = (2 - u_n)(1 + u_n) \ge 0$, avec $u_n, u_{n+1} \ge 0$, donc $u_{n+1} \ge u_n$.

Limite. $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc elle converge vers $\ell \in [0,2]$.

$x \mapsto \sqrt{2+x}$ est continue sur $[-2,+\infty[$, donc $\ell = \sqrt{2+\ell}$, d'où $\ell^2 - \ell - 2 = 0$.

Comme $\ell \ge 0$ : $\ell = 2$.

Correction — Question 2

2$2 - u_{n+1} = \dfrac{4 - (2 + u_n)}{2 + \sqrt{2 + u_n}} = \dfrac{2 - u_n}{2 + u_{n+1}} \le \dfrac{2 - u_n}{2}$, car $u_{n+1} \ge 0$ et $2 - u_n \ge 0$.

Correction — Question 3

3Montrons par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le 2 - u_n \le \dfrac{2}{2^{n}}$.

Il suffit que $\frac{1}{2^{n-1}} \le 10^{-3}$, c'est-à-dire $2^{n-1} \ge 1000$. Comme $2^{10} = 1024$, on peut prendre $n_0 = 11$.

Pour tout $n \ge 11$, $0 \le 2 - u_n \le \frac{1}{1024} < 10^{-3}$.