Exercice 9Suite homographique paramétrée : contraction et transfert

Correction — Question 1

1Montrons par récurrence que, pour tout $n \ge 0$, $V_n > 0$.

Correction — Question 2 a.

2a.$V_{n+1} - \sqrt2 = \dfrac{2 + aV_n - \sqrt2 a - \sqrt2 V_n}{a + V_n}$, et le numérateur vaut $(a - \sqrt2)(V_n - \sqrt2)$.

Correction — Question 2 b.

b.$a - \sqrt2 < 0$ et $V_0 - \sqrt2 = 1 - \sqrt2 < 0$, donc $V_1 - \sqrt2 > 0$. Puis $V_2 - \sqrt2 < 0$ (un facteur négatif, un facteur positif, un dénominateur positif).

Correction — Question 2 c.

c.$V_0 < \sqrt2 < V_1$ donne $V_1 > V_0$ ; $V_2 < \sqrt2 < V_1$ donne $V_2 < V_1$. Conclusion : $V$ n'est pas monotone.

Correction — Question 3 a.

3a.$\left|V_{n+1} - \sqrt2\right| = \dfrac{\sqrt2 - a}{V_n + a}\left|V_n - \sqrt2\right| \le \dfrac{\sqrt2 - a}{a}\left|V_n - \sqrt2\right|$, car $V_n + a > a > 0$. Et $\dfrac{\sqrt2 - a}{a} = \left|1 - \dfrac{\sqrt2}{a}\right| = \lambda$.

Correction — Question 3 b.

b.Montrons par récurrence que, pour tout $n \ge 0$, $\left|V_n - \sqrt2\right| \le \lambda^n\left|1 - \sqrt2\right|$.

On vérifie pour $n = 0$ : $\left|V_0 - \sqrt2\right| = \left|1 - \sqrt2\right| = \lambda^0\left|1 - \sqrt2\right|$.

On suppose que, pour un entier $n \ge 0$, $\left|V_n - \sqrt2\right| \le \lambda^n\left|1 - \sqrt2\right|$, et on montre que $\left|V_{n+1} - \sqrt2\right| \le \lambda^{n+1}\left|1 - \sqrt2\right|$.

D'après 3.a, $\left|V_{n+1} - \sqrt2\right| \le \lambda\left|V_n - \sqrt2\right| \le \lambda \times \lambda^n\left|1 - \sqrt2\right| = \lambda^{n+1}\left|1 - \sqrt2\right|$ (car $\lambda \ge 0$). La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Par récurrence, pour tout $n \ge 0$, $\left|V_n - \sqrt2\right| \le \lambda^n\left|1 - \sqrt2\right|$.

Correction — Question 3 c.

c.$1 < a < \sqrt2$ donne $1 < \frac{\sqrt2}{a} < \sqrt2$, donc $0 < \lambda < \sqrt2 - 1 < 1$. Ainsi $\lambda^n \to 0$ et $\lim V_n = \sqrt2$.

Correction — Question 4

4On divise numérateur et dénominateur par $5$ : $W_{n+1} = \dfrac{2 + \frac65 W_n}{\frac65 + W_n}$. C'est la relation de $V$ avec $a = \frac65 \in \left]1,\sqrt2\right[$, et $W_0 = V_0 = 1$.

Notons $V$ la suite de l'énoncé associée à $a = \frac65$, et montrons par récurrence que, pour tout $n \ge 0$, $W_n = V_n$.