Exercice 7Suite de Héron : approximation de $\sqrt7$

Correction — Question 1

1Montrons par récurrence que, pour tout $n \ge 0$, $U_n \ge \sqrt7$.

Correction — Question 2 a.

2a.$U_{n+1} - U_n = \dfrac{7 - U_n^2}{2U_n} \le 0$, car $U_n \ge \sqrt7$.

Correction — Question 2 b.

b.$(U_n)$ est décroissante et minorée par $\sqrt7$, donc elle converge vers $\ell \ge \sqrt7$.

$x \mapsto \frac12\left(x + \frac7x\right)$ est continue sur $]0,+\infty[$, donc $\ell = \frac12\left(\ell + \frac7\ell\right)$, d'où $\ell^2 = 7$.

Comme $\ell > 0$ : $\ell = \sqrt7$.

Correction — Question 3

3$U_{n+1} - \sqrt7 = \dfrac{(U_n-\sqrt7)^2}{2U_n}$ et $U_n \ge \sqrt7 > 1$, donc $\dfrac{1}{2U_n} \le \dfrac12$.

Correction — Question 4 a.

4a.Montrons par récurrence que, pour tout $n \ge 0$, $U_n - \sqrt7 \le d_n$.

On vérifie pour $n = 0$ : $U_0 - \sqrt7 = 3 - \sqrt7 \le 1 = d_0$, car $\sqrt7 \ge 2$.

On suppose que, pour un entier $n \ge 0$, $U_n - \sqrt7 \le d_n$, et on montre que $U_{n+1} - \sqrt7 \le d_{n+1}$.

D'après 1, $0 \le U_n - \sqrt7 \le d_n$, donc $\left(U_n - \sqrt7\right)^2 \le d_n^2$. Avec 3 : $U_{n+1} - \sqrt7 \le \frac12\left(U_n - \sqrt7\right)^2 \le \frac12 d_n^2 = d_{n+1}$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Par récurrence, pour tout $n \ge 0$, $U_n - \sqrt7 \le d_n$.

Correction — Question 4 b.

b.$d_1 = \frac12$, $d_2 = \frac18$, $d_3 = \frac{1}{128}$, $d_4 = \frac{1}{32768}$.

Correction — Question 4 c.

c.$0 \le U_4 - \sqrt7 \le \frac{1}{32768} < 10^{-4}$ : $U_4$ est une valeur approchée par excès de $\sqrt7$ à $10^{-4}$ près.