Exercice 6Suite $\frac{n^2}{2^n}$ et somme $S_n$

Correction — Question 1°

1Même calcul qu'à l'exercice 5.

Correction — Question 2° a)

2a)Pour $n \ge 5$, $\left(1+\frac1n\right)^2 \le \left(\frac65\right)^2 = \frac{36}{25}$, donc $\frac{U_{n+1}}{U_n} \le \frac{18}{25} < \frac34$. Comme $U_n > 0$, $U_{n+1} < \frac34 U_n$.

Correction — Question 2° b)

b)Montrons par récurrence que, pour tout $n \ge 5$, $U_n \le \left(\frac34\right)^{n-5} U_5$.

On vérifie pour $n = 5$ : $\left(\frac34\right)^{0} U_5 = U_5$.

On suppose que, pour un entier $n \ge 5$, $U_n \le \left(\frac34\right)^{n-5} U_5$, et on montre que $U_{n+1} \le \left(\frac34\right)^{n+1-5} U_5$.

D'après 2°a, $U_{n+1} < \frac34 U_n \le \frac34 \times \left(\frac34\right)^{n-5} U_5 = \left(\frac34\right)^{n+1-5} U_5$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Par récurrence, pour tout $n \ge 5$, $U_n \le \left(\frac34\right)^{n-5} U_5$.

Correction — Question 2° c)

c)$0 < U_n \le \left(\frac34\right)^{n-5}U_5 \to 0$, donc $\lim U_n = 0$.

Correction — Question 3° a)

3a)Pour $5 \le k \le n$, $U_k \le \left(\frac34\right)^{k-5}U_5$ ; on somme ces inégalités.

Correction — Question 3° b)

b)$1 + \dots + \left(\frac34\right)^{n-5} = \dfrac{1 - \left(\frac34\right)^{n-4}}{1 - \frac34} = 4\left(1 - \left(\tfrac34\right)^{n-4}\right) \le 4$, donc $S_n \le 4U_5$.

Correction — Question 3° c)

c)$S_{n+1} - S_n = U_{n+1} > 0$ : $(S_n)$ est croissante. Majorée par $4U_5$, elle est convergente.