Exercice 5Suite explicite $\frac{n^{10}}{2^n}$ : à partir d'un certain rang

Correction — Question 1

1$\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = \dfrac{(n+1)^{10}}{2^{n+1}} \times \dfrac{2^n}{n^{10}} = \dfrac12\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{10}$.

Correction — Question 2

2$x \mapsto 1 + \frac1x$ est strictement décroissante et strictement positive sur $[1,+\infty[$, et $t \mapsto t^{10}$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$. Donc $g$ est strictement décroissante. (On peut aussi écrire $g'(x) = -\frac{10}{x^2}\left(1+\frac1x\right)^9 < 0$.)

Correction — Question 3 a.

3a.Pour $n \ge 14$, $g(n) \le g(14) = \left(\frac{15}{14}\right)^{10} \approx 1{,}9936 \le 2$ (valeur obtenue à la calculatrice).

Correction — Question 3 b.

b.Pour $n \ge 14$, $\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac12 g(n) \le 1$ et $V_n > 0$, donc $V_{n+1} \le V_n$.

Correction — Question 3 c.

c.$(V_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc convergente. Comme $U_n = V_n$ pour $n \ge 14$, $(U_n)$ est convergente.

Correction — Question 4 a.

4a.Pour $n \ge 16$, $\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac12 g(n) \le \frac12\left(\frac{17}{16}\right)^{10} \approx 0{,}917 \le 0{,}95$. Comme $U_n > 0$, $U_{n+1} \le 0{,}95\,U_n$.

Correction — Question 4 b.

b.Montrons par récurrence que, pour tout $n \ge 16$, $U_n \le (0{,}95)^{n-16}\,U_{16}$.

On vérifie pour $n = 16$ : $(0{,}95)^{0}\,U_{16} = U_{16}$, donc $U_{16} \le (0{,}95)^{0}\,U_{16}$.

On suppose que, pour un entier $n \ge 16$, $U_n \le (0{,}95)^{n-16}\,U_{16}$, et on montre que $U_{n+1} \le (0{,}95)^{n+1-16}\,U_{16}$.

D'après 4.a, $U_{n+1} \le 0{,}95\,U_n \le 0{,}95 \times (0{,}95)^{n-16}\,U_{16} = (0{,}95)^{n+1-16}\,U_{16}$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Par récurrence, pour tout $n \ge 16$, $U_n \le (0{,}95)^{n-16}\,U_{16}$.

Correction — Question 4 c.

c.$0 < U_n \le (0{,}95)^{n-16}U_{16}$ et $0 < 0{,}95 < 1$, donc $(0{,}95)^{n-16} \to 0$. D'où $\lim U_n = 0$ (gendarmes).