Exercice 3Point fixe et suite auxiliaire géométrique

Correction — Question 1 a)

1a)$x \mapsto x+2$ est croissante et strictement positive, donc $x \mapsto \frac{4}{x+2}$ est décroissante et $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$. (On peut aussi écrire $f'(x) = \frac{4}{(x+2)^2} > 0$.)

Correction — Question 1 b)

b)$f(0) = 1$ ; $f(2) = 2$.

Correction — Question 2

2Montrons par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 2$.

Correction — Question 3 a)

3a)$u_{n+1} - u_n = \dfrac{(3-u_n)(u_n+2) - 4}{u_n+2} = \dfrac{-u_n^2 + u_n + 2}{u_n+2} = \dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+2}$.

Correction — Question 3 b)

b)Par 2, les trois facteurs sont positifs, donc $u_{n+1} - u_n \ge 0$ : $(u_n)$ est croissante.

Correction — Question 4

4$(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc elle converge vers $\ell \in [0,2]$.

$f$ est continue sur $[0,2]$, donc $\ell = 3 - \frac{4}{\ell+2}$, d'où $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, soit $(\ell-2)(\ell+1) = 0$.

Comme $\ell \ge 0$ : $\lim u_n = 2$.

Correction — Question 5 a)

5a)On a $u_{n+1} - 2 = \dfrac{u_n-2}{u_n+2}$ et $u_{n+1} + 1 = \dfrac{4(u_n+1)}{u_n+2}$, d'où $v_{n+1} = \dfrac14 v_n$.

$(v_n)$ est géométrique de raison $\frac14$ et de premier terme $v_0 = -2$.

Correction — Question 5 b)

b)$v_n = -2\left(\frac14\right)^n$. De $v_n(u_n+1) = u_n - 2$ on tire $u_n = \dfrac{2+v_n}{1-v_n} = \dfrac{2 - 2\left(\frac14\right)^n}{1 + 2\left(\frac14\right)^n}$ (licite car $1 - v_n \ge 1$).

Correction — Question 5 c)

c)Comme $0 < \frac14 < 1$, $\left(\frac14\right)^n \to 0$, donc $u_n \to 2$.