Je cherche
Cherche d’abord seul.
Lis l'énoncé en entier : les trois questions s'enchaînent. Tente la question 1 avant toute aide.
Revoir l’énoncé
Soit la suite réelle définie par :
1Montrer que on a : .
2Montrer que la suite est croissante.
3En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite.
Je bloque sur…
Choisis la question qui te bloque. Rien n’est révélé tant que tu ne le demandes pas.
Question 1
Montrer que on a : .
Indice 1
Que demande « pour tout » ?
Indice 2
Dans l'hérédité, pars de : multiplie par 3, puis applique la racine carrée, qui est croissante sur .
Méthode BNG
Récurrence : vérifier au rang 1, puis transmettre l'encadrement de à .
Correction — Question 1
1Montrons par récurrence que, pour tout , .
Je réessaie avant d’ouvrir la suite.
As-tu vraiment réessayé après la méthode ?
Aides masquées. Refais la question sans aide, sur ta feuille.
Question 2
Montrer que la suite est croissante.
Indice 1
Étudie le signe de : quel résultat de la question 1 pourra t'aider ?
Indice 2
Pour la monotonie, factoriser par .
Méthode BNG
Monotonie par le signe de la différence, lu grâce à l'encadrement de la question 1.
Correction — Question 2
2, car . La suite est croissante.
Je réessaie avant d’ouvrir la suite.
As-tu vraiment réessayé après la méthode ?
Aides masquées. Refais la question sans aide, sur ta feuille.
Question 3
En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite.
Indice 1
Croissante et majorée : quel théorème donne la convergence ?
Indice 2
Pour la limite, utiliser avec , puis éliminer une valeur.
Méthode BNG
Convergence monotone, puis point fixe par continuité, puis élimination grâce à .
Correction — Question 3
3 est croissante et majorée par , donc elle converge vers un réel , avec .
La fonction est continue sur , donc , soit , d'où ou .
Comme : .
Je réessaie avant d’ouvrir la suite.
As-tu vraiment réessayé après la méthode ?
Aides masquées. Refais la question sans aide, sur ta feuille.
Après la correction
Les blocs suivants concernent l’ensemble de l’exercice.
Pourquoi ?
L'encadrement fait tout : il donne le signe de , il fournit le majorant, puis il situe la limite (), ce qui élimine .
✔ Vérification
et : la suite monte et reste sous 3 ; la limite retenue vérifie .
À retenir
a deux solutions ; c'est qui choisit.
↗ Transfert
Même chaîne aux exercices 3, 7 et 11 ; élimination d'une solution « impossible » : exercice 10 ().
⚠ Attention Bac — documenté
Observé dans les épreuves et les corrigés du Bac
Quand a deux solutions, écris l'argument qui élimine l'une d'elles.
Point de vigilance
Conseil BNG — conseil de méthode, pas une règle officielle
L'équation a deux solutions. C'est l'encadrement de la limite () qui permet d'en choisir une : il faut l'écrire.
Mini-rappel
et . On admet que est croissante et converge vers . Résous : quelle est la limite ?
donne ou . La suite est croissante, donc : .
Récupération différée
Choisis une échéance pour reprendre ce rappel sans aide.
Pourquoi la limite ne peut-elle pas être 0 ?
.