Exercice 1Deux suites, une même fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $[-2,+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x+2}$. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 7$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = f(u_n)$, ainsi que la suite $(v_n)$ définie, pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $v_n = f(n)$.

1Calculer les valeurs exactes de $u_1$, $u_2$, $u_3$ et de $v_0$, $v_1$, $v_2$, $v_3$.

2Comparer $u_2$ et $v_2$. Expliquer en une phrase ce qui distingue les deux modes de définition.

3À l'aide de valeurs approchées, conjecturer le sens de variation de chacune des deux suites.

4Démontrer que la suite $(v_n)$ est croissante.

5Un élève affirme : « $f$ est croissante, donc $(u_n)$ est croissante. » Que penser de cette affirmation ?